Топ-100
Back

ⓘ Множина Кантора будується за допомогою видалення середніх третин сегментів прямої. На першому кроці видаляється середня третина із одиничного інтервалу які зали ..




                                     

ⓘ Множина Кантора

Множина Кантора будується за допомогою видалення середніх третин сегментів прямої. На першому кроці видаляється середня третина із одиничного інтервалу які залишаються після всіх повторних видалень. Перші сім кроків зображено нижче.

                                     

1. Що знаходиться в множині Кантора?

Оскільки множина Кантора визначається як множина не видалених точок, можна визначити відношення цієї множини до одиничного інтервалу через загальну довжину видалених підінтервалів. Загальна довжина дорівнює геометричній послідовності:

∑ n = 0 ∞ 2 n 3 n + 1 = 1 3 + 2 9 + 4 27 + 8 81 + ⋯ = 1 3 1 − 2 3 = 1. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left{\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right=1.}

Таким чином, пропорція зліва 1 − 1 = 0. Аналогічно, можна помітити, що на кожному кроці залишається 2/3 від довжини інтервалу, отриманого на попередньому кроці. Таким чином, отримуємо довжину інтервалу 2/3 × 2/3 × 2/3 ×., нескінченний добуток, границя значень якого дорівнює 0.

Дивлячись на результати обчислень, може здатись дивним, що щось таки залишається - сума довжин видалених інтервалів дорівнює довжині початкового інтервалу. Однак, при ближчому погляді на процес, можна помітити, що щось має залишитись, так як видалення "середньої третини" кожного інтервалу призводить до видалення відкритого інтервалу інтервалу, який не містить своїх меж. Так, видалення сегменту 1/3, 2/3 із початкового інтервалу залишає точки 1/3 та 2/3. В подальшому, ці межі не видаляються, оскільки інтервали, що видаляються, є відкритими по відношенню до інтервалів, що залишаються. Тому множина Кантора не порожня.

                                     

2. Властивості

Множина Кантора є прототипом фракталу. Вона є самоподібною, оскільки вона дорівнює двом своїм копіям, якщо кожну копію зменшити в три рази та перенести. Її розмірність Хаусдорфа дорівнює ln2/ln3. Її можна утворити перетином килима Серпінського будь-якою прямою, яка проходить через центр симетрії.

Топологічні властивості

  • Множина Кантора C замкнена і компактна в евклідовому просторі R {\displaystyle \mathbb {R} }, бо вона є перетином замкнених підмножин відрізку можуть бути отримані таким шляхом.
  • Компоненти C одноточкові, бо якщо a
                                     
  • Галле. Канторова множина - континуальна множина нульової міри на відрізку Функція Кантора Канторові сходи Нумеруюча функція Кантора - відображення декартового
  • функції Кантора від аргументу x. Похідна функції Кантора визначена і рівна нулю на всіх точках одиничного відрізка крім множини Кантора яка є множиною міри
  • У теорії множин Діагональний метод Кантора або діагональний аргумент Кантора також відомий як метод діагоналізації, був опублікований у 1891 році Георгом
  • Парадокс Кантора - парадокс, сформульований Георгом Кантором який демонструє, що припущення про існування множини всіх множин веде до протиріч. Парадокс
  • Іншими словами множина досконала якщо вона замкнена і щільна в собі. Це визначення справедливе для топологічних просторів. Множина Кантора - ніде не щільна
  • вельми розмиті означення, ніби множина є багато що, мислиме як єдине і т. д. Це цілком відповідало наміру самого Кантора який підкреслено називав свою
  • Розподіл Кантора - розподіл ймовірностей, функція розподілу ймовірностей якого якого є функцією Кантора Цей розподіл не має ані функції густини ймовірності
  • Теорема Кантора - твердження у теорії множин що потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її булеану множини всіх її підмножин Названа
  • числову пряму. Множина точок на площині й в n - вимірному просторі, де n - скінченне число, теж має потужність континууму. Із теореми Кантора випливає, що

Users also searched:

...